Квартили и урезанное среднее
Сформировать понятие квартилей и урезанного среднего, научить находить их для числовых выборок и применять для анализа данных с выбросами
Автор материала: Татьяна
Квартили и урезанное среднее
Как описывать распределение данных и учитывать влияние выбросов
Чему мы научимся
От упорядочивания чисел до устойчивого анализа выборки
- Объяснять смысл первого, второго и третьего квартилей.
- Находить квартили упорядоченной числовой выборки.
- Вычислять урезанное среднее и понимать принцип удаления крайних значений.
- Сравнивать среднее арифметическое и урезанное среднее при наличии выбросов.
Квартили: делим выборку на четыре части
Квартили
Квартили — значения, которые при принятом способе расчёта разделяют упорядоченную выборку на четыре части примерно одинаковой численности.
Как найти квартили выборки
Сначала упорядочиваем данные, затем определяем позиции квартилей
- Упорядочим выборку: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14.
- Медиана Q₂ равна (7 + 8) / 2 = 7,5.
- Нижняя половина: 2, 4, 5, 7; её медиана Q₁ = (4 + 5) / 2 = 4,5.
- Верхняя половина: 8, 10, 12, 14; её медиана Q₃ = (10 + 12) / 2 = 11.
Межквартильный размах и выбросы
Межквартильный размах
- • IQR = Q₃ − Q₁.
- • В примере IQR = 11 − 4,5 = 6,5.
- • Размах описывает ширину центральных 50% данных.
Правило 1,5 IQR
- • Нижняя граница: Q₁ − 1,5 · IQR.
- • Верхняя граница: Q₃ + 1,5 · IQR.
- • Наблюдения за границами считают потенциальными выбросами, но их необычность нужно оценивать в контексте.
Почему обычного среднего бывает недостаточно
Одно экстремальное значение может заметно изменить результат
- Выборка: 4, 5, 5, 6, 30.
- Среднее арифметическое: (4 + 5 + 5 + 6 + 30) / 5 = 10.
- Медиана равна 5 и отражает центральное положение данных.
- Большое значение 30 повышает среднее, хотя большинство наблюдений находится между 4 и 6.
Урезанное среднее: идея и формула
Урезанное среднее
Урезанное среднее — среднее арифметическое значений, оставшихся после удаления заданной доли наименьших и наибольших наблюдений из упорядоченной выборки.
Вычисляем урезанное среднее
Пример: удаляем по одному крайнему значению
- Исходная выборка: 4, 5, 5, 6, 30.
- Удаляем минимум 4 и максимум 30.
- Остаются значения 5, 5, 6.
- Урезанное среднее: (5 + 5 + 6) / 3 = 16 / 3 ≈ 5,33.
- Результат 5,33 заметно ближе к центральной части выборки, чем обычное среднее 10.
Практикум: выбери подходящий показатель
Задание
- • Даны результаты: 12, 13, 13, 14, 15, 16, 42.
- • Найди медиану Q₂.
- • Вычисли среднее арифметическое.
- • Найди урезанное среднее после удаления одного минимума и одного максимума.
Проверь себя
- • Медиана: 14.
- • Обычное среднее: 125 / 7 ≈ 17,86.
- • После удаления 12 и 42 остаются 13, 13, 14, 15, 16.
- • Урезанное среднее: 71 / 5 = 14,2.
Главное: какой показатель выбрать?
Квартили описывают положение данных, урезанное среднее снижает влияние крайних значений
- Квартили Q₁, Q₂ и Q₃ делят упорядоченную выборку на четыре части примерно одинаковой численности.
- Межквартильный размах IQR = Q₃ − Q₁ характеризует разброс центральных 50% наблюдений.
- Среднее арифметическое использует все значения и чувствительно к экстремальным наблюдениям.
- Урезанное среднее исключает заданное число крайних значений с обеих сторон и усредняет оставшиеся.
- Выбирай показатель с учётом формы распределения, наличия выбросов и цели анализа.
Скачать презентацию в PPTX
Редактируемый файл с готовыми слайдами. Для скачивания потребуется бесплатный аккаунт.
Создать свою презентацию