Теорема синусов

Цели урока

• Сформулировать и доказать теорему синусов
• Установить связь между сторонами треугольника, его углами и радиусом описанной окружности
• Научиться применять теорему синусов для решения геометрических задач
• Понять, в каких случаях теорема синусов наиболее удобна

Формулировка теоремы синусов

Идея доказательства теоремы

• Опустим высоту BH из вершины B на сторону AC треугольника ABC
• Из прямоугольных треугольников: sin A = BH / c и sin C = BH / a, откуда BH = c · sin A = a · sin C
• Разделив обе части на произведение a · c, получаем равенство: a / sin A = c / sin C
• Аналогичным образом доказывается равенство для стороны b и угла B

Связь с описанной окружностью

• Каждая дробь a / sin A = b / sin B = c / sin C равна диаметру описанной окружности, то есть 2R
• Расширенная теорема синусов: a / sin A = 2R
• Зная любую сторону и противолежащий угол, можно найти радиус R описанной окружности
• Формула универсальна: работает для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников

Теорема для разных видов треугольников

Применение теоремы синусов в задачах

Алгоритм действий и разбор примеров

Алгоритм решения задач с теоремой синусов

• Определить, какие элементы треугольника известны: стороны и углы
• Убедиться, что известны сторона и противолежащий ей угол — это обязательное условие применения теоремы
• Записать пропорцию a / sin A = b / sin B, выразить и вычислить неизвестный элемент
• Проверить, соответствует ли ответ условиям существования треугольника

Примеры решения задач

• Задача 1: a = 8, A = 30°, B = 45°. Найти b. Решение: b / sin 45° = 8 / sin 30° → b = 8 · (√2/2) / 0,5 = 8√2 ≈ 11,3
• Задача 2: a = 10, A = 60°. Найти R. Решение: R = a / (2 sin A) = 10 / (2 · √3/2) = 10/√3 ≈ 5,77
• Задача 3: A = 40°, B = 70°, c = 5. Найти a. Угол C = 70°; a / sin 40° = 5 / sin 70° → a ≈ 3,42

Итоги урока и домашнее задание

• Теорема синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R — фундаментальное соотношение в любом треугольнике
• Теорема применяется, когда известны сторона и противолежащий ей угол треугольника
• Домашнее задание: § «Теорема синусов», задачи № 1–4 (базовые) и № 5 (повышенной сложности)
• Повторить значения синусов стандартных углов: 30°, 45°, 60°, 90°