Логарифмические уравнения и неравенства

Ход урока

1. 1Организационный момент и мотивация

   3

   Учитель

   • Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы проводим урок обобщения по теме 'Логарифмические уравнения и неравенства'.
   • Какова наша главная цель на сегодня, учитывая приближающийся экзамен?
   • Верно. Откройте тетради, запишите число и тему урока.

   Ученики

   • Приветствуют учителя.
   • Подготовиться к ЕГЭ, вспомнить все методы и правила, не забыть про ОДЗ.
   • Записывают дату и тему в тетрадь.

   Результат

   Класс настроен на работу, сформулированы цели, тема зафиксирована в тетрадях.

2. 2Актуализация знаний (Устная работа)

   7

   Учитель

   • Давайте вспомним определение логарифма. Что такое log_a(b)?
   • Какие жесткие ограничения накладываются на основание a и аргумент b? Это основа нашего ОДЗ.
   • Отлично. Устно решите уравнения: log_2(x) = 3 и log_3(x-1) = 0.

   Ученики

   • Это показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.
   • Основание a больше 0 и не равно 1, аргумент b строго больше 0.
   • В первом x = 8, во втором x - 1 = 1, значит x = 2.

   Результат

   Актуализированы базовые понятия логарифма и понятие области допустимых значений.

3. 3Обобщение методов решения уравнений (Практикум)

   10

   Учитель

   • Какие основные методы решения логарифмических уравнений вы знаете?
   • Решим у доски уравнение: log_5(x^2 - 4) = log_5(3x). Кто пойдет?
   • Обязательно ли здесь расписывать ОДЗ, или можно поступить иначе?

   Ученики

   • Потенцирование, введение новой переменной, использование свойств логарифмов.
   • Один ученик выходит к доске, приравнивает аргументы: x^2 - 4 = 3x, решает квадратное уравнение, получает корни 4 и -1.
   • Можно просто сделать проверку. Корень -1 не подходит, так как логарифм отрицательного числа не существует. Ответ: 4.

   Результат

   Повторены и успешно применены на практике основные методы решения логарифмических уравнений.

4. 4Обобщение методов решения неравенств (Практикум)

   12

   Учитель

   • Переходим к неравенствам. В чем главное отличие при потенцировании неравенств от уравнений?
   • Верно. Решите в тетрадях: log_0.5(2x - 1) > -1. Внимательно с основанием!
   • Продиктуйте полную систему, к которой сводится это неравенство, чтобы не потерять ОДЗ.

   Ученики

   • Нужно смотреть на основание. Если оно больше 1, знак неравенства сохраняется, если от 0 до 1 — меняется на противоположный.
   • Записывают -1 как log_0.5(2). Так как 0.5 < 1, знак меняется: 2x - 1 < 2.
   • Система: 2x - 1 < 2 и 2x - 1 > 0. Решение: 0.5 < x < 1.5.

   Результат

   Отработан алгоритм решения логарифмических неравенств с учетом свойств монотонности функции.

5. 5Самостоятельная работа (Тест)

   5

   Учитель

   • А теперь небольшая самостоятельная работа в виде теста на 5 минут. Бланки у вас на партах.
   • Обратите особое внимание на ОДЗ в заданиях с неравенствами. Время пошло.
   • Время вышло, передаем листочки с задних парт вперед.

   Ученики

   • Индивидуально решают тестовые задания на бланках.
   • Собирают и сдают работы учителю.

   Результат

   Проведен первичный контроль усвоения обобщенного материала урока.

6. 6Подведение итогов и рефлексия

   3

   Учитель

   • Подведем итоги. Какая ошибка является самой частой и обидной при решении логарифмических неравенств на экзамене?
   • Именно так. Запишите домашнее задание. Оно разделено по уровням сложности, выберите подходящий для себя.
   • Оценки за работу на уроке сегодня получают... Урок окончен, до свидания.

   Ученики

   • Забыть про ОДЗ или не поменять знак при основании меньше единицы.
   • Записывают домашнее задание в дневники, прощаются с учителем.

   Результат

   Учащиеся осознали ключевые точки контроля при решении задач, получили и поняли домашнее задание.