Теорема синусов

Ход урока

1. 1Организационный момент и актуализация знаний

   5 минут

   Учитель

   • «Проверьте готовность к уроку: учебник, тетрадь, ручка».
   • «Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника?»
   • «Как связаны величины углов и противолежащих им сторон в треугольнике?»
   • «Сегодня выясним, существует ли единое соотношение между всеми сторонами и углами произвольного треугольника».

   Ученики

   • Отвечают на вопросы по определениям.
   • Формулируют зависимость: большей стороне противолежит больший угол.
   • Предлагают способы связать стороны и углы треугольника.

   Результат

   Учащиеся воспроизводят определение синуса и формулируют зависимость между сторонами и противолежащими углами треугольника.

2. 2Изучение теоремы синусов

   10 минут

   Учитель

   • «Рассмотрим треугольник ABC. Стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C соответственно».
   • «Обратите внимание: сторона и угол, стоящие напротив друг друга, образуют пару».
   • «Запишем главное соотношение: a/sin A = b/sin B = c/sin C».
   • «Сформулируйте теорему своими словами».
   • «Теорема синусов устанавливает, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны».

   Ученики

   • Обозначают стороны и углы на чертеже.
   • Записывают формулу теоремы.
   • Формулируют теорему синусов.

   Результат

   Учащиеся записывают и формулируют теорему синусов в виде a/sin A = b/sin B = c/sin C.

3. 3Доказательство и осмысление теоремы

   8 минут

   Учитель

   • «Проведём высоту CD из вершины C на сторону AB».
   • «Как выразить высоту CD через сторону a и угол A?»
   • «Получаем CD = b sin A. Аналогично через другую сторону получаем CD = a sin B».
   • «Следовательно, b sin A = a sin B, откуда a/sin A = b/sin B».
   • «Аналогично получаем равенство с третьей стороной; это и есть теорема синусов».

   Ученики

   • Рассматривают построенную высоту.
   • Записывают зависимости CD = b sin A и CD = a sin B.
   • Преобразуют равенство к виду a/sin A = b/sin B.
   • Делают вывод о симметричности полученного отношения.

   Результат

   Учащиеся воспроизводят основные шаги доказательства теоремы синусов через высоту треугольника.

4. 4Первичное применение теоремы

   8 минут

   Учитель

   • «В треугольнике ABC известно: A = 30°, B = 45°, a = 6. Найдите b».
   • «Какие стороны соответствуют углам A и B?»
   • «Запишите пропорцию: a/sin A = b/sin B».
   • «Подставьте известные значения и выразите b».
   • «Проверьте ответ: какая сторона должна быть больше — a или b?»

   Ученики

   • Определяют соответствующие стороны и углы.
   • Составляют пропорцию 6/sin 30° = b/sin 45°.
   • Вычисляют b = 6√2.
   • Сравнивают результат с величинами углов.

   Результат

   Учащиеся правильно составляют пропорцию по теореме синусов и находят неизвестную сторону.

5. 5Самостоятельная работа с взаимопроверкой

   7 минут

   Учитель

   • «Самостоятельно решите задачу: в треугольнике ABC A = 45°, C = 60°, c = 8. Найдите a».
   • «Сначала определите, какие стороны противолежат углам A и C».
   • «Не забывайте записывать формулу теоремы до подстановки чисел».
   • «Обменяйтесь тетрадями и сравните решения с эталоном на доске».

   Ученики

   • Самостоятельно составляют пропорцию.
   • Выполняют вычисления.
   • Сверяют решение с эталоном.
   • Исправляют ошибки при необходимости.

   Результат

   Не менее 70% учащихся самостоятельно применяют теорему синусов для нахождения неизвестной стороны.

6. 6Подведение итогов и рефлексия

   4 минуты

   Учитель

   • «Как формулируется теорема синусов?»
   • «Какая сторона должна стоять в паре с синусом данного угла?»
   • «Какая ошибка наиболее опасна при применении теоремы?»
   • «Покажите: уверенно применяю теорему — один палец; нужна тренировка — два; пока есть трудности — три».

   Ученики

   • Формулируют теорему.
   • Называют соответствующие пары сторона–угол.
   • Называют типичные ошибки.
   • Оценивают степень понимания темы.

   Результат

   Учащиеся формулируют теорему синусов и называют правильное соответствие сторон и противолежащих углов.

7. 7Домашнее задание и завершение урока

   3 минуты

   Учитель

   • «Запишите домашнее задание и выберите уровень по своей готовности».
   • «Повторите формулировку и формулу теоремы синусов».
   • «Обратите внимание на правильное соответствие сторон и углов».

   Ученики

   • Записывают домашнее задание.
   • Уточняют непонятные условия.
   • Фиксируют необходимую формулу.

   Результат

   Учащиеся записывают домашнее задание и понимают способ его выполнения.