Линейная функция

Ход урока

1. 11. Организационный момент. Постановка учебной задачи

   3 минуты

   Учитель

   • «Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: учебник, тетрадь, ручка и линейка должны быть на парте».
   • «Сегодня мы не будем изучать новую тему. Наша задача — собрать воедино всё, что вы знаете о линейной функции, и научиться быстро выбирать подходящий способ решения».
   • «Какие понятия и умения нам понадобятся?»
   • Ожидаемые ответы: «Формула y = kx + b», «Коэффициенты k и b», «Таблица значений», «Построение графика по двум точкам».

   Ученики

   • Готовят рабочее место.
   • Вспоминают основные понятия темы.
   • Формулируют предполагаемые задачи урока.

   Результат

   Учащиеся называют формулу линейной функции и не менее двух умений, необходимых для решения задач по теме.

2. 22. Актуализация знаний. Математическая разминка

   7 минут

   Учитель

   • «Вспомним определение. Какую функцию называют линейной?»
   • Ожидаемый ответ: «Функцию, которую можно задать формулой y = kx + b, где k и b — числа».
   • «Какие из записей задают линейную функцию: y = 3x - 2; y = -2x + 5; y = x² + 1; y = 4/x? Обоснуйте ответ».
   • Ожидаемый ответ: «Первые две функции линейные, потому что имеют вид y = kx + b. Последние две не имеют такого вида».
   • «Назовите k и b для функции y = 3x - 2. А для функции y = -2x + 5?»
   • Ожидаемые ответы: «В первой k = 3, b = -2; во второй k = -2, b = 5».
   • «Что можно сказать о графике y = kx + b, если k положителен, отрицателен или равен нулю?»
   • Ожидаемый ответ: «При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает, при k = 0 функция постоянна, а график — горизонтальная прямая».

   Ученики

   • Устно классифицируют предложенные функции.
   • Называют коэффициенты k и b.
   • Формулируют свойства линейной функции при разных значениях k.

   Результат

   Учащиеся правильно классифицируют четыре предложенные функции, определяют коэффициенты двух линейных функций и объясняют влияние знака k на характер изменения функции.

3. 33. Обобщение способов нахождения значений функции

   7 минут

   Учитель

   • «Пусть дана функция y = 2x - 3. Как найти значение y, если известно x?»
   • Ожидаемый ответ: «Нужно подставить значение x вместо аргумента и выполнить вычисления».
   • «Вычислите значения функции при x = 0, x = 2 и x = -1. Запишите вычисления в тетради».
   • Ожидаемые ответы: «При x = 0 получаем y = -3; при x = 2 получаем y = 1; при x = -1 получаем y = -5».
   • «Как проверить, принадлежит ли точка A(2; 1) графику этой функции?»
   • Ожидаемый ответ: «Подставить x = 2 в формулу и сравнить полученное значение с ординатой точки: y = 1, значит, точка принадлежит графику».
   • «Если бы ордината точки была равна 2, принадлежала бы такая точка графику при x = 2?»
   • Ожидаемый ответ: «Нет, потому что значение функции при x = 2 равно 1».

   Ученики

   • Вычисляют значения функции при трёх значениях аргумента.
   • Объясняют порядок подстановки и вычисления.
   • Проверяют принадлежность точки графику по формуле.

   Результат

   Учащиеся правильно находят три значения функции y = 2x - 3 и обосновывают принадлежность точки A(2; 1) её графику.

4. 44. Повторение алгоритма построения графика линейной функции

   10 минут

   Учитель

   • «Теперь вспомним, как перейти от формулы к графику. Построим график функции y = -x + 2. С чего начнём?»
   • Ожидаемый ответ: «Выберем значения x, вычислим соответствующие значения y и составим таблицу».
   • «Возьмём x = 0 и x = 2. Чему равны соответствующие значения y?»
   • Ожидаемые ответы: «При x = 0 значение y равно 2; при x = 2 значение y равно 0».
   • «Запишите пары координат (0; 2) и (2; 0). Отметьте точки на координатной плоскости и проведите через них прямую».
   • «Почему для построения прямой достаточно двух различных точек?»
   • Ожидаемый ответ: «Через две различные точки проходит единственная прямая».
   • «В каких точках график пересекает оси координат? Как изменяется функция при увеличении x?»
   • Ожидаемые ответы: «Ось Oy — в точке (0; 2), ось Ox — в точке (2; 0); функция убывает, потому что k = -1 < 0».
   • «Проверьте, что обе точки лежат на проведённой прямой и оси подписаны правильно».

   Ученики

   • Составляют таблицу значений функции.
   • Строят координатные оси и отмечают две точки.
   • Проводят график линейной функции.
   • Определяют точки пересечения с осями и характер изменения функции.

   Результат

   Учащиеся строят график y = -x + 2 по двум точкам, верно определяют точки пересечения с осями координат и объясняют, почему функция убывает.

5. 55. Обобщение и применение знаний. Сравнение линейных функций

   8 минут

   Учитель

   • «Сравните функции y = 2x + 1 и y = 2x - 3. Что у них одинаковое и что различается?»
   • Ожидаемый ответ: «У обеих функций k = 2, но свободные члены различаются: 1 и -3».
   • «Как будут расположены их графики? Нужно ли строить оба графика, чтобы ответить?»
   • Ожидаемый ответ: «Графики параллельны, потому что угловые коэффициенты одинаковы, а свободные члены различны».
   • «Теперь рассмотрим y = 2x + 1 и y = -x + 1. При каком значении x значения функций равны?»
   • Ожидаемый ответ: «Приравняем выражения: 2x + 1 = -x + 1, откуда 3x = 0 и x = 0».
   • «Чему равно y в точке пересечения?»
   • Ожидаемый ответ: «При x = 0 обе функции принимают значение 1, поэтому точка пересечения — (0; 1)».
   • «Сформулируйте правило для двух графиков y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂, если коэффициенты k₁ и k₂ различны».
   • Ожидаемый ответ: «Если k₁ не равно k₂, прямые пересекаются в одной точке».

   Ученики

   • Определяют коэффициенты двух пар функций.
   • Обосновывают параллельность графиков первой пары.
   • Находят координаты точки пересечения второй пары графиков.
   • Формулируют вывод о взаимном расположении графиков.

   Результат

   Учащиеся объясняют параллельность графиков функций с одинаковыми угловыми коэффициентами и находят точку пересечения графиков y = 2x + 1 и y = -x + 1.

6. 66. Самостоятельная проверочная работа

   7 минут

   Учитель

   • «Выполните три задания самостоятельно. На работу отводится семь минут. Записывайте не только ответы, но и необходимые вычисления».
   • «Задание 1. Для функции y = -3x + 4 укажите k и b».
   • Ожидаемый ответ: «k = -3, b = 4».
   • «Задание 2. Найдите значение функции y = 3x - 2 при x = -2».
   • Ожидаемый ответ: «y = 3 · (-2) - 2 = -8».
   • «Задание 3. Определите взаимное расположение графиков y = 4x + 1 и y = 4x - 2. Объясните ответ».
   • Ожидаемый ответ: «Графики параллельны, поскольку угловые коэффициенты равны 4, а свободные члены различны».
   • «Проверьте, что в каждом задании есть ответ и, где необходимо, обоснование. После завершения передайте карточку или обменяйтесь работами для проверки».

   Ученики

   • Самостоятельно выполняют три задания.
   • Записывают вычисления и обоснование.
   • Проверяют работу по предложенным критериям или передают её учителю.

   Результат

   Учащиеся выполняют три задания на определение коэффициентов, вычисление значения функции и установление взаимного расположения графиков.

7. 77. Подведение итогов. Рефлексия и домашнее задание

   3 минуты

   Учитель

   • «Вернёмся к цели урока. Что мы сегодня повторили и какие задачи научились решать увереннее?»
   • Ожидаемые ответы: «Повторили формулу y = kx + b, находили значения функции, строили график и сравнивали графики».
   • «Что оказалось самым простым, а что требует ещё одного повторения?»
   • Ожидаемые ответы: «Легко находить значения функции; нужно потренироваться строить графики или определять их взаимное расположение».
   • «Дома выполните задания на повторение формулы, вычисление значений и построение графика. При выполнении графика обязательно укажите координаты выбранных точек».

   Ученики

   • Оценивают достижение цели урока.
   • Называют одно освоенное умение и одну трудность.
   • Записывают домашнее задание.

   Результат

   Учащиеся формулируют не менее двух выводов по теме, называют индивидуальную трудность и записывают домашнее задание.